反向传播(Back Propagation)算法的直观解释

宁静致远
4个月前 阅读 58 点赞 3

BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。

简单的理解,它的确就是复合函数的链式法则,但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。

如果要直观地解释back propagation算法,需要先直观理解多层神经网络的训练。


机器学习可以看做是数理统计的一个应用,在数理统计中一个常见的任务就是拟合,也就是给定一些样本点,用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系。


深度学习同样也是为了这个目的,只不过此时,样本点不再限定为 (x,y)(x, y) 点对,而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对 (X,Y)(X,Y) 。而此时,(X,Y)(X,Y) 之间的关系也变得十分复杂,不太可能用一个简单函数表示。然而,人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系,而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。



其对应的表达式如下:



上面式中的 WijW_{ij} 就是相邻两层神经元之间的权值,它们就是深度学习需要学习的参数,也就相当于直线拟合 y=kx+by=k*x+b 中的待求参数 kkbb


和直线拟合一样,深度学习的训练也有一个目标函数,这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”,不过在机器学习中,一般是采用成本函数(cost function),然后,训练目标就是通过调整每一个权值 WijW_{ij} 来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值 WijW_{ij} 为自变量的复合函数,而且基本上是非凸的,即含有许多局部最小值。但实际中发现,采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。


梯度下降法需要给定一个初始点,并求出该点的梯度向量,然后以负梯度方向为搜索方向,以一定的步长进行搜索,从而确定下一个迭代点,再计算该新的梯度方向,如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢?


假设我们把cost函数表示为 H(W11,W12,...,Wij,...,Wmn)H(W_{11},W_{12},...,W_{ij},...,W_{mn}) ,那么它的梯度向量就等于 H=HW11e11++HWmnemn\nabla H = \frac{\partial H}{\partial W_{11}}e_{11} + \dots + \frac{\partial H}{\partial W_{mn}}e_{mn} , 其中 eije_{ij} 表示正交单位向量。为此,我们需求出cost函数 HH 对每一个权值 WijW_{ij} 的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器


我们以求 e=(a+b)(b+1)e=(a+b)*(b+1) 的偏导为例。

它的复合关系画出图可以表示如下:



在图中,引入了中间变量c,d。


为了求出a=2, b=1时,e的梯度,我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系,如下图所示。



利用链式法则我们知道:


ea=ecca\frac{\partial e}{\partial a} = \frac{\partial e}{\partial c} \cdot \frac{\partial c}{\partial a} 以及 eb=eccb+eddb\frac{\partial e}{\partial b} = \frac{\partial e}{\partial c} \cdot \frac{\partial c}{\partial b} + \frac{\partial e}{\partial d} \cdot \frac{\partial d}{\partial b}


链式法则在上图中的意义是什么呢?其实不难发现,ea\frac{\partial e}{\partial a} 的值等于从 aaee 的路径上的偏导值的乘积,而 eb\frac{\partial e}{\partial b} 的值等于从 bbee 的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说,对于上层节点 pp 和下层节点 qq ,要求得 qq\frac{\partial q}{\partial q} ,需要找到从 qq 节点到 pp 节点的所有路径,并且对每条路径,求得该路径上的所有偏导数之乘积,然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到 qq\frac{\partial q}{\partial q} 的值。


大家也许已经注意到,这样做是十分冗余的,因为很多路径被重复访问了。比如上图中,a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络,这样的冗余所导致的计算量是相当大的。


同样是利用链式法则,BP算法则机智地避开了这种冗余,它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。

正如反向传播(BP)算法的名字说的那样,BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。


从最上层的节点e开始,初始值为1,以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点,将1乘以e到某个节点路径上的偏导值,并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后,第二层的每一个节点都“堆放"些值,然后我们针对每个节点,把它里面所有“堆放”的值求和,就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点,初始值设为顶点e对它们的偏导值,以"层"为单位重复上述传播过程,即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。


以上图为例,节点c接受e发送的1*2并堆放起来,节点d接受e发送的1*3并堆放起来,至此第二层完毕,求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2*1并对堆放起来,节点c向b发送2*1并堆放起来,节点d向b发送3*1并堆放起来,至此第三层完毕,节点a堆放起来的量为2,节点b堆放起来的量为2*1+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.


举个不太恰当的例子,如果把上图中的箭头表示欠钱的关系,即 cec \to e 表示e欠c的钱。以a, b为例,直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪,c说e欠我钱,你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪,同样又转向e,b又向d讨薪,再次转向e。可以看到,追款之路,充满艰辛,而且还有重复,即a, b 都从c转向e。而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c,d。c,d收到钱,乐呵地把钱转发给了a,b,皆大欢喜。


参考链接:https://www.zhihu.com/question/27239198
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