动图解释泰勒级数(二)

Triangle
4个月前 阅读 28 点赞 3

几何角度




定义一个这样的场景是为了计算这样一件事(如下图所示):假设我们知道了f(a)点的面积,往右扩展很小的距离dx要算出新部分的面积(左边绿色已知 + 黄色矩形 + 红色三角形),公式会是什么样的呢?






这个公式为啥这么眼熟呢?其实明显就是泰勒展开式的前3项,如果你还要打破沙锅问到底,第4项呢?你可以放大红色三角形,把函数曲线和面积之间的空白部分再次用多个更小的三角形填补,在积分工具的帮助下,可以得到三次项。


从几何角度来看,再一次验证了,泰勒公式是近似的 x=a附近的函数值这一直观理解


余项

我们知道,对泰勒公式来说,并没有办法完全逼近待求函数,所以无论如何到最后都会留一点东西,这剩下的东西不好表达,就全都丢到余项中。

可以暂时如此理解,不在此迷惑,如果是专业学生,需要深究,建议参看专业教材深入理解其中玄妙


泰勒级数

完成对【泰勒公式】的理解后,需要对【级数 Series】这个概念进行一个推广,什么是【级数】呢?

在数学中,【级数】就是无限多项的和

在把泰勒展开式,扩展到无限项之后,就会出现【收敛 Converge】和【发散 diverge】的概念


收敛

收敛,即在泰勒展开式被推广到无限项之后,整体式子的值会越来越趋近于一个定值,比如下图的1/2和e



发散

与收敛相对应的,即发散,式子无法趋近于一个定值,比如ln(x)在x=1附近,如下图所示,虚线即为能够让多项式的和收敛的最大取之范围,称为【泰勒级数的收敛半径



总结

泰勒公式干了一件什么事?

使用多项式表达式估计(近似) f(x)在x=a附近的值


泰勒公式的导数项如何推倒出来的?

某一点处的导数值信息<=>那一点附近的函数值信息


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