用Python实现机器学习算法——简单的神经网络

西北狼
7个月前 阅读 47 点赞 2

导读:Python 被称为是最接近 AI 的语言。最近一位名叫Anna-Lena Popkes(德国波恩大学计算机科学专业的研究生,主要关注机器学习和神经网络)的小姐姐在GitHub上分享了自己如何使用Python(3.6及以上版本)实现7种机器学习算法的笔记,并附有完整代码。所有这些算法的实现都没有使用其他机器学习库。这份笔记可以帮大家对算法以及其底层结构有个基本的了解,但并不是提供最有效的实现。


在这一章节里,我们将实现一个简单的神经网络架构,将 2 维的输入向量映射成二进制输出值。我们的神经网络有 2 个输入神经元,含 6 个隐藏神经元隐藏层及 1 个输出神经元。


我们将通过层之间的权重矩阵来表示神经网络结构。在下面的例子中,输入层和隐藏层之间的权重矩阵将被表示为,隐藏层和输出层之间的权重矩阵为。除了连接神经元的权重向量外,每个隐藏和输出的神经元都会有一个大小为 1 的偏置量。


我们的训练集由 m = 750 个样本组成。因此,我们的矩阵维度如下:


  • 训练集维度: X = (750,2)
  • 目标维度: Y = (750,1)
  • 维度:(m,nhidden) = (2,6)
  • 维度:(bias vector):(1,nhidden) = (1,6)
  • 维度: (nhidden,noutput)= (6,1)
  • 维度:(bias vector):(1,noutput) = (1,1)



损失函数



我们使用与 Logistic 回归算法相同的损失函数:



对于多类别的分类任务,我们将使用这个函数的通用形式作为损失函数,称之为分类交叉熵函数。


训练

我们将用梯度下降法来训练我们的神经网络,并通过反向传播法来计算所需的偏导数。训练过程主要有以下几个步骤:


1. 初始化参数(即权重量和偏差量)

2. 重复以下过程,直到收敛:

  • 通过网络传播当前输入的批次大小,并计算所有隐藏和输出单元的激活值和输出值。
  • 针对每个参数计算其对损失函数的偏导数
  • 更新参数


前向传播过程


首先,我们计算网络中每个单元的激活值和输出值。为了加速这个过程的实现,我们不会单独为每个输入样本执行此操作,而是通过矢量化对所有样本一次性进行处理。其中:


  • 表示对所有训练样本激活隐层单元的矩阵
  • 表示对所有训练样本输出隐层单位的矩阵


隐层神经元将使用 tanh 函数作为其激活函数:



输出层神经元将使用 sigmoid 函数作为激活函数:



激活值和输出值计算如下(·表示点乘):



反向传播过程


为了计算权重向量的更新值,我们需要计算每个神经元对损失函数的偏导数。这里不会给出这些公式的推导,你会在其他网站上找到很多更好的解释(https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/)。


对于输出神经元,梯度计算如下(矩阵符号):



对于输入和隐层的权重矩阵,梯度计算如下:



权重更新



In [3]:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_circles
from sklearn.model_selection import train_test_split
np.random.seed(123)
% matplotlib inline


数据集


In [4]:

X, y = make_circles(n_samples=1000, factor=0.5, noise=.1)
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y)
plt.xlim([-1.5, 1.5])
plt.ylim([-1.5, 1.5])
plt.title("Dataset")
plt.xlabel("First feature")
plt.ylabel("Second feature")
plt.show()


In [5]:

# reshape targets to get column vector with shape (n_samples, 1)
y_true = y[:, np.newaxis]
# Split the data into a training and test set
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y_true)
print(f'Shape X_train: {X_train.shape}')
print(f'Shape y_train: {y_train.shape}')
print(f'Shape X_test: {X_test.shape}')
print(f'Shape y_test: {y_test.shape}')


Shape X_train: (750, 2)

Shape y_train: (750, 1)

Shape X_test: (250, 2)

Shape y_test: (250, 1)


Neural Network Class

以下部分实现受益于吴恩达的课程

https://www.coursera.org/learn/neural-networks-deep-learning



class NeuralNet():
    def __init__(self, n_inputs, n_outputs, n_hidden):
        self.n_inputs = n_inputs
        self.n_outputs = n_outputs
        self.hidden = n_hidden
        # Initialize weight matrices and bias vectors
        self.W_h = np.random.randn(self.n_inputs, self.hidden)
        self.b_h = np.zeros((1, self.hidden))
        self.W_o = np.random.randn(self.hidden, self.n_outputs)
        self.b_o = np.zeros((1, self.n_outputs))
    def sigmoid(self, a):
        return 1 / (1 + np.exp(-a))
    def forward_pass(self, X):
        """
        Propagates the given input X forward through the net.
        Returns:
            A_h: matrix with activations of all hidden neurons for all input examples
            O_h: matrix with outputs of all hidden neurons for all input examples
            A_o: matrix with activations of all output neurons for all input examples
            O_o: matrix with outputs of all output neurons for all input examples
        """
        # Compute activations and outputs of hidden units
        A_h = np.dot(X, self.W_h) + self.b_h
        O_h = np.tanh(A_h)
        # Compute activations and outputs of output units
        A_o = np.dot(O_h, self.W_o) + self.b_o
        O_o = self.sigmoid(A_o)
        outputs = {
                "A_h": A_h,
                "A_o": A_o,
                "O_h": O_h,
                "O_o": O_o,
                }
        return outputs
    def cost(self, y_true, y_predict, n_samples):
        """
        Computes and returns the cost over all examples
        """
        # same cost function as in logistic regression
        cost = (- 1 / n_samples) * np.sum(y_true * np.log(y_predict) + (1 - y_true) * (np.log(1 - y_predict)))
        cost = np.squeeze(cost)
        assert isinstance(cost, float)
        return cost
    def backward_pass(self,  X, Y, n_samples, outputs):
        """
        Propagates the errors backward through the net.
        Returns:
            dW_h: partial derivatives of loss function w.r.t hidden weights
            db_h: partial derivatives of loss function w.r.t hidden bias
            dW_o: partial derivatives of loss function w.r.t output weights
            db_o: partial derivatives of loss function w.r.t output bias
        """
        dA_o = (outputs["O_o"] - Y)
        dW_o = (1 / n_samples) * np.dot(outputs["O_h"].T, dA_o)
        db_o = (1 / n_samples) * np.sum(dA_o)
        dA_h = (np.dot(dA_o, self.W_o.T)) * (1 - np.power(outputs["O_h"], 2))
        dW_h = (1 / n_samples) * np.dot(X.T, dA_h)
        db_h = (1 / n_samples) * np.sum(dA_h)
        gradients = {
                "dW_o": dW_o,
                "db_o": db_o,
                "dW_h": dW_h,
                "db_h": db_h,
                }
        return gradients
    def update_weights(self, gradients, eta):
        """
        Updates the model parameters using a fixed learning rate
        """
        self.W_o = self.W_o - eta * gradients["dW_o"]
        self.W_h = self.W_h - eta * gradients["dW_h"]
        self.b_o = self.b_o - eta * gradients["db_o"]
        self.b_h = self.b_h - eta * gradients["db_h"]
    def train(self, X, y, n_iters=500, eta=0.3):
        """
        Trains the neural net on the given input data
        """
        n_samples, _ = X.shape
        for i in range(n_iters):
            outputs = self.forward_pass(X)
            cost = self.cost(y, outputs["O_o"], n_samples=n_samples)
            gradients = self.backward_pass(X, y, n_samples, outputs)
            if i % 100 == 0:
                print(f'Cost at iteration {i}: {np.round(cost, 4)}')
            self.update_weights(gradients, eta)
    def predict(self, X):
        """
        Computes and returns network predictions for given dataset
        """
        outputs = self.forward_pass(X)
        y_pred = [1 if elem >= 0.5 else 0 for elem in outputs["O_o"]]
        return np.array(y_pred)[:, np.newaxis]


初始化并训练神经网络



nn = NeuralNet(n_inputs=2, n_hidden=6, n_outputs=1)
print("Shape of weight matrices and bias vectors:")
print(f'W_h shape: {nn.W_h.shape}')
print(f'b_h shape: {nn.b_h.shape}')
print(f'W_o shape: {nn.W_o.shape}')
print(f'b_o shape: {nn.b_o.shape}')
print()
print("Training:")
nn.train(X_train, y_train, n_iters=2000, eta=0.7)


Shape of weight matrices and bias vectors:

W_h shape: (2, 6)

b_h shape: (1, 6)

W_o shape: (6, 1)

b_o shape: (1, 1)


Training:

Cost at iteration 0: 1.0872

Cost at iteration 100: 0.2723

Cost at iteration 200: 0.1712

Cost at iteration 300: 0.1386

Cost at iteration 400: 0.1208

Cost at iteration 500: 0.1084

Cost at iteration 600: 0.0986

Cost at iteration 700: 0.0907

Cost at iteration 800: 0.0841

Cost at iteration 900: 0.0785

Cost at iteration 1000: 0.0739

Cost at iteration 1100: 0.0699

Cost at iteration 1200: 0.0665

Cost at iteration 1300: 0.0635

Cost at iteration 1400: 0.061

Cost at iteration 1500: 0.0587

Cost at iteration 1600: 0.0566

Cost at iteration 1700: 0.0547

Cost at iteration 1800: 0.0531

Cost at iteration 1900: 0.0515

 

测试神经网络

n_test_samples, _ = X_test.shape
y_predict = nn.predict(X_test)
print(f"Classification accuracy on test set: {(np.sum(y_predict == y_test)/n_test_samples)*100} %")


Classification accuracy on test set: 98.4 %


可视化决策边界

X_temp, y_temp = make_circles(n_samples=60000, noise=.5)
y_predict_temp = nn.predict(X_temp)
y_predict_temp = np.ravel(y_predict_temp)


fig = plt.figure(figsize=(8,12))
ax = fig.add_subplot(2,1,1)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y)
plt.xlim([-1.5, 1.5])
plt.ylim([-1.5, 1.5])
plt.xlabel("First feature")
plt.ylabel("Second feature")
plt.title("Training and test set")
ax = fig.add_subplot(2,1,2)
plt.scatter(X_temp[:,0], X_temp[:,1], c=y_predict_temp)
plt.xlim([-1.5, 1.5])
plt.ylim([-1.5, 1.5])
plt.xlabel("First feature")
plt.ylabel("Second feature")
plt.title("Decision boundary")


Out[11]:Text(0.5,1,'Decision boundary')



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