用Python实现机器学习算法——线性回归算法

05-07   0  29

Python 被称为是最接近 AI 的语言。最近一位名叫Anna-Lena Popkes(德国波恩大学计算机科学专业的研究生,主要关注机器学习和神经网络。)的小姐姐在GitHub上分享了自己如何使用Python(3.6及以上版本)实现7种机器学习算法的笔记,并附有完整代码。所有这些算法的实现都没有使用其他机器学习库。这份笔记可以帮大家对算法以及其底层结构有个基本的了解,但并不是提供最有效的实现。


在线性回归中,我们想要建立一个模型,来拟合一个因变量 y 与一个或多个独立自变量(预测变量) x 之间的关系。


给定:


  • 数据集
  • 是d-维向量
  • 是一个目标变量,它是一个标量


线性回归模型可以理解为一个非常简单的神经网络:


  • 它有一个实值加权向量
  • 它有一个实值偏置量 b
  • 它使用恒等函数作为其激活函数


线性回归模型可以使用以下方法进行训练


a) 梯度下降法

b) 正态方程(封闭形式解):


其中 X 是一个矩阵,其形式为,包含所有训练样本的维度信息。


而正态方程需要计算的转置。这个操作的计算复杂度介于)和之间,而这取决于所选择的实现方法。因此,如果训练集中数据的特征数量很大,那么使用正态方程训练的过程将变得非常缓慢。

 

线性回归模型的训练过程有不同的步骤。首先(在步骤 0 中),模型的参数将被初始化。在达到指定训练次数或参数收敛前,重复以下其他步骤。


第 0 步:

用0 (或小的随机值)来初始化权重向量和偏置量,或者直接使用正态方程计算模型参数


第 1 步(只有在使用梯度下降法训练时需要):

计算输入的特征与权重值的线性组合,这可以通过矢量化和矢量传播来对所有训练样本进行处理:


其中 X 是所有训练样本的维度矩阵,其形式为;· 表示点积。


第 2 步(只有在使用梯度下降法训练时需要):

用均方误差计算训练集上的损失:



第 3 步(只有在使用梯度下降法训练时需要):

对每个参数,计算其对损失函数的偏导数:



所有偏导数的梯度计算如下:



第 4 步(只有在使用梯度下降法训练时需要):

更新权重向量和偏置量:



其中,表示学习率。


In [4]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
np.random.seed(123)


数据集


In [5]:

# We will use a simple training set
X = 2 * np.random.rand(500, 1)
y = 5 + 3 * X + np.random.randn(500, 1)
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X, y)
plt.title("Dataset")
plt.xlabel("First feature")
plt.ylabel("Second feature")
plt.show()


In [6]:

# Split the data into a training and test set
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
print(f'Shape X_train: {X_train.shape}')
print(f'Shape y_train: {y_train.shape}')
print(f'Shape X_test: {X_test.shape}')
print(f'Shape y_test: {y_test.shape}')

Shape X_train: (375, 1)

Shape y_train: (375, 1)

Shape X_test: (125, 1)

Shape y_test: (125, 1)


线性回归分类


In [23]:

class LinearRegression:
    
    def __init__(self):
        pass
    
    def train_gradient_descent(self, X, y, learning_rate=0.01, n_iters=100):
        """
        Trains a linear regression model using gradient descent
        """
        # Step 0: Initialize the parameters
        n_samples, n_features = X.shape
        self.weights = np.zeros(shape=(n_features,1))
        self.bias = 0
        costs = []
        
        for i in range(n_iters):
            # Step 1: Compute a linear combination of the input features and weights
            y_predict = np.dot(X, self.weights) + self.bias
           
            # Step 2: Compute cost over training set
            cost = (1 / n_samples) * np.sum((y_predict - y)**2)
            costs.append(cost)
           
            if i % 100 == 0:
                print(f"Cost at iteration {i}: {cost}")
            
            # Step 3: Compute the gradients
            dJ_dw = (2 / n_samples) * np.dot(X.T, (y_predict - y))
            dJ_db = (2 / n_samples) * np.sum((y_predict - y)) 
            
            # Step 4: Update the parameters
            self.weights = self.weights - learning_rate * dJ_dw
            self.bias = self.bias - learning_rate * dJ_db
        
        return self.weights, self.bias, costs
   
    def train_normal_equation(self, X, y):
        """
        Trains a linear regression model using the normal equation
        """
        self.weights = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), y)
        self.bias = 0
        
        return self.weights, self.bias
        
    def predict(self, X):
        return np.dot(X, self.weights) + self.bias


使用梯度下降进行训练



In [24]:

regressor = LinearRegression()
w_trained, b_trained, costs = regressor.train_gradient_descent(X_train, y_train, learning_rate=0.005, n_iters=600)
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(np.arange(n_iters), costs)
plt.title("Development of cost during training")
plt.xlabel("Number of iterations")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()


Cost at iteration 0: 66.45256981003433
Cost at iteration 100: 2.2084346146095934
Cost at iteration 200: 1.2797812854182806
Cost at iteration 300: 1.2042189195356685
Cost at iteration 400: 1.1564867816573
Cost at iteration 500: 1.121391041394467



测试(梯度下降模型)


In [28]:

n_samples, _ = X_train.shape
n_samples_test, _ = X_test.shape

y_p_train = regressor.predict(X_train)
y_p_test = regressor.predict(X_test)

error_train =  (1 / n_samples) * np.sum((y_p_train - y_train) ** 2)
error_test =  (1 / n_samples_test) * np.sum((y_p_test - y_test) ** 2)

print(f"Error on training set: {np.round(error_train, 4)}")
print(f"Error on test set: {np.round(error_test)}")



Error on training set: 1.0955

Error on test set: 1.0


使用正规方程(normal equation)训练

# To compute the parameters using the normal equation, we add a bias value of 1 to each input example
X_b_train = np.c_[np.ones((n_samples)), X_train]
X_b_test = np.c_[np.ones((n_samples_test)), X_test]

reg_normal = LinearRegression()
w_trained = reg_normal.train_normal_equation(X_b_train, y_train)


测试(正规方程模型)

y_p_train = reg_normal.predict(X_b_train)
y_p_test = reg_normal.predict(X_b_test)

error_train =  (1 / n_samples) * np.sum((y_p_train - y_train) ** 2)
error_test =  (1 / n_samples_test) * np.sum((y_p_test - y_test) ** 2)

print(f"Error on training set: {np.round(error_train, 4)}")
print(f"Error on test set: {np.round(error_test, 4)}")


Error on training set: 1.0228

Error on test set: 1.0432


可视化测试预测

# Plot the test predictions


fig = plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X_train, y_train)
plt.scatter(X_test, y_p_test)
plt.xlabel("First feature")
plt.ylabel("Second feature")
plt.show()



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