动图解释泰勒级数(一)

Vivian喵~
2个月前 阅读 10 点赞 1

在遇到一个生僻的概念或者公式时,确认它的几种不同的表述形式(马甲)是很重要,也就是定义问题:我们到底要了解的东西是什么 & 怎么称呼:


泰勒公式(也叫 泰勒展开式、泰勒多项式)
泰勒级数

它是微积分学下的一个重要概念,与之有关联的有:如泰勒定理多元泰勒公式,以拉格朗日型余项为代表的各类余项审敛法牛顿差值公式(牛顿级数)(列出为了进行树状知识整合和梳理)


什么是泰勒公式

基本定义:

数学定义,公式各个部分代表什么含义先说清楚


个人粗浅总结,初学者产生记不住的感觉大多数情况下是没有沉下心来想想公式的各部分表示的是什么东西,梳理一下会清晰很多


联想链条


首先拆字

【公式】 <什么公式?>➜ 【多项式】(Polynomials),把多项式的一般形式写出来,这应该是非常容易理解的概念,即指数不仅仅为2的抛物线的组合


【泰勒】<谐音“太乐” ≈ 如果所有小数都能近似成整数那不是太快乐了?> ➜ 近似,获得一个直观理解

  • 泰勒公式通过把【任意函数表达式】转换(重写)为【多项式】形式,是一种极其强大的函数近似工具

为什么说它强大呢?

  • 多项式非常【友好】,三易,易计算,易求导,易积分
  • 几何感觉和计算感觉都很直观,如抛物线和几次方就是底数自己乘自己乘几次


泰勒公式干的事情就是:使用多项式表达式估计(近似)f(x)在x=a附近的值

那么如何近似呢?使用一个例子来加深理解


怎样理解泰勒公式



我们需要做的事情(目的)即寻找一条绿色的曲线(多项式的系数c0,c1,c2),在x=0附近(0为上面提到的a)尽可能的与f(x)=cosx的图像相似(重合)


函数式角度

那如何才能找到这三个参数呢?最为显而易见的做法就是希望在 x=0的位置,两个表达式的切线尽量相等,切线即斜率,也就是求导,比较抽象,一步一步来可视化一下


近似过程:








为什么这个【近似过程】写的这么详细,是为了在过程中体会两个关键点


为什么使用多项式来截图

因为多项式的求导法则可以控制变量,消去低次项,使得 x=a未知的cn容易确定,在之前的例子里,如下图所示



为什么有个系数1/n!?

阶层系数是由一次一次的求导产生的。我们再把项数加两个,参看下图,直观的感受一个n!的诞生



首先,低次项会变为0,这样可以很方便的通过计算f(x)的n次求导的表达式,带入x=a即可得到cn的值,阶层其实是多次求导的系数


其实,某一点处的导数值信息<=>那一点附近的函数值信息 这个直观感觉,是很重要的

如果把对cos(x)函数的处理过程一般化,泰勒展开式除余项外的部分显而易见了,下面这幅动图(由于太大,微信无法展示,只能截取一张图)就是不同项对函数的描述能力,并且扩展到 x=a 一般化的过程


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