最大子序列和问题之算法优化

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算法一:穷举式地尝试所有的可能

int maxSubsequenceSum(const int a[], int n)
{
   int i, j, k;
   int thisSum, maxSum = 0;
   for (i = 0; i < n; i++)
     for (j = i; j < n; j++)
     {
       thisSum = 0;
       for (k = i; k < j; k++)
         thisSum += a[k];
       if (thisSum > maxSum)
         maxSum = thisSum;
     }
   return maxSum;
 }


算法复杂度为O(n^3)(三重for循环)


算法二:算法一的改进

int maxSubsequenceSum(const int a[], int n)
{
   int i, j;
   int thisSum, maxSum = 0;
   for (i = 0; i < n; i++)
   {
     thisSum = 0;
     for (j = i; j < n; j++)
     {
       thisSum += a[j];
       if (thisSum > maxSum)
         maxSum = thisSum;
     }
   }
   return maxSum;
 }


该算法去除了算法一中不必要的计算,时间复杂度为O(n^2)(两重for循环)。

算法三:分治(divide-and-conquer)策略

分治策略:

分:把问题分成若干个(通常是两个)规模相当的子问题,然后递归地对它们求解。

治:将若干个问题的解4合并到一起并可能再做少量的附加工作,最后得到整个问题的解。

在这个问题中,最大子序列和可能在三处出现:即左半部序列、右半部序列、穿过中部从而占据左右两半部分的序列。前两种情况可以通过递归求解。而递归的基准情况(base cases)是序列只有一个元素(left == right),若该元素大于0,则返回该元素,否则返回0。第三种情况的最大和可以通过分别求出左边部分(包含左半部分最后一个)的最大和以及右边部分(包含右边部分的第一个)的最大和,再将它们相加得到。


int maxSubsequenceSum(const int a[], int left, int right)
 {
   int i, mid, maxLeftSum, maxRightSum;
   int maxLeftBorderSum, leftBorderSum;
   int maxRightBorderSum, rightBorderSum;
   if (left == right) {      /*基准情况*/
     if (a[left] >= 0)
       return a[left];
     else
       return 0;
   }
   mid = left + (right - left) / 2;
   maxLeftSum = maxSubsequenceSum(a, left, mid);   /*左半部分的最大和*/  maxRightSum = maxSubsequenceSum(a, mid+1, right); /*右半部分的最大和*/
   /*下面求穿过中点的最大和*/
   maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
   for (i = mid; i >= left; i--)
    /*中点及其以左的最大和*/
   {
     leftBorderSum += a[i];
     if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
       maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
   }
   maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
   for (i = mid+1; i <= right; i++) /*中点以右的最大和*/ 
   {
     rightBorderSum += a[i];
     if (rightBorderSum > maxRightBorderSum)
       maxRightBorderSum = rightBorderSum;
   }
   /*返回三部分中的最大值*/
   return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum); 
} 

 int max3(int a, int b, int c) 
{
   int maxNum = a;
  if (b > maxNum) 
     maxNum = b;
   if (c > maxNum)
     maxNum = c;
   return maxNum;
 }


以序列2,4,-1,-5,4,-1为例,其左半部分最大和为2 + 4 = 6;右半部分最大和为4,穿过中心的最大和为(-1 + 4 + 2)+ (-5 + 4)= 0。故该序列的最大子序列和为max(6,4,0)= 6。


时间复杂度分析: 假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。当n = 1是,T(1) = O(1);当n > 1时,两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right)) = O(n),一共为2T(n/2)+O(n)。综上可列如下方程组:

T(1) = 1

T(n) = 2T(n/2) + O(n)

事实上,上述方程组常常通用于分治算法,由方程组可算出T(n) = O(nlogn)。


算法四:

算法三利用递归较好的解决了最大子序列和问题,但仔细分析,在递归过程中,同一个元素很可能多次被操作,有没有更高效的算法?先上代码


int maxSubsequenceSum(const int a[], int n)
{
   int i;
   int maxSum, thisSum;
   maxSum = thisSum = 0;
   for (i = 0; i < n; i++)
   {
     thisSum += a[i];
     if (thisSum > maxSum)
       maxSum = thisSum;
     else if (thisSum < 0)
       thisSum = 0;
   }
   return maxSum;
 }


可以简单的分析出上述代码的时间复杂度是O(n),比前三种都高效。它为什么是正确的?从直观上理解:首先for循环的if语句保证了每次更新后最大和保存在maxSum中,而我们从i = 0开始扫描,假设扫描到i = t(t < n),且此时的最大和已经保存在maxSum中,而当前的和(thisSum)如果大于0,不管当i > t的元素大小如何,加上thisSum总会使之后的和变大,而如果thisSum小于0,肯定会使之后的和变小,既然还会变小,那干脆就重新来过(thisSum = 0),有些另起炉灶的意味。


该算法一个附带的优点是,它只对数据进行一次的扫描,一旦a[i]被读入并被处理,它就不再需要记忆。因此,如果数组在磁盘或磁带上,它就可以被顺序读入,在主存中不必储存数组的任何部分。不仅如此,在任意时刻,该算法都能对它已经读入的数据给出子序列问题的正确答案(其他算法即前三种不具有这个特性)。具有这种特性的算法叫做联机算法(online algorithm)。仅需要常量空间并以线性时间运行的online algorithm几乎是完美的算法。————《数据结构与算法分析》(中文版第二版)

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